天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。
----《孟子 告子下》
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以这部分内容为摆渡数学习题班（冲刺班）讲义内容，相关习题将会汇编成冲刺 版习题集，习题答案并不是讲义全部内容，如果造成理解不便，敬请原谅。
这类命题的证明一般要作辅助函数，然后利用零点定理或罗尔定理证之.
1. 欲证其根存在的方程为变限积分方程，其左端即为所求作的辅助函数.如果在区间端点值异号，由零点定理,命题得证
例:设 在 上连续, 且
证明
。
方程 在区间 内有且仅有一个根
证: 因 , 故 和 均为正数，则其算术平均值不小于其几何平 均值, 所以
即
(2)因
在 上连续, 由零点定理知, 在 内至少有一根.又因
故 在 上单调增加, 所以 在 内只有一根
2. 如果所证结论中的积分限为中值, 将 一律改写成 ,并移项使等式一端为0,另一端的表达式即为所作的辅助函数
如果在区间端点值异号，由零点定理知命题得证；如果不异号，或不易证其异号.可采用其他辅助函数使用罗尔定理。
例：设 在 上连续,证明至少存在一 ,使得
证：若令
因不易证明
异号.改令
注意到
因而作辅助函数
下验证 满足罗尔定理的条件.事实上, 因 在 上连续, 故
可导。从而 在 上连续, 在 内可导.又
于是由罗尔定理知在 内至少存在一点 ,使 , 即
故
3. 将定积分等式中积分上限(或下限)及被积函数中的一律换成,再移项使一端为,则另一端的表示式即为所求的辅助函数，可试用罗尔定理证之
例:设 在 上连续,且
证明存在一个 ,使
证明：因为:
中的 1 一作改为变量,并令
显然 在 上连续,在 上可导.又
于是由罗尔定理知，存在一个 ,使 . 因
所以
1.映射
4.函数极限性质
7.极限存在准则
10.微分中值定理
13.曲率
16.分布积分法
19.无界函数审敛法
22.平面方程
25.空间曲线投影
28.向量函数求导
31.梯度
34.含参积分
37.收敛级数性质
40.矩阵与方程组
43.相似与二次型
46.样本均值|方差你
2.函数特性
5.连续性与间断点
8.高阶导|莱布尼茨
11.洛必达法则
14.不定积分理解
17.不定积分技巧
20.微分方程基础
23.空间曲线
26.多元复合函数
29.曲线法平面
32.拉格朗日
35.格林公式I
38.级数审敛法
41.线性相关
44.概率运算|概型
3.数列收敛
6.最值|介值|零点
9.参数与隐函数
12.泰勒公式
15.换元积分法
18.反常积分审敛法
21.微分方程进阶
24.旋转曲面
27.隐函数定理
30.方向导数
33.二重积分技巧
36.格林公式推论
39.幂级数审敛法
42.正交与特征值
45.贝叶斯公式
1.定义域求解
4.数列极限技巧
7.中值不等式
10.洛必达法则
13.分部积分法
16.三角不定积分
19.变限积分证法
22.变限积分根值
25.定积分不等式2
28.平面曲线积分
31.旋转曲面
34.复合函数求导
37.正项级数敛散
40.比较审敛法
43.函数变幂级数
46微分求函数
49.行列式性质
52.逆矩阵求法
55.伴随矩阵
58.分块矩阵运算
61.矩阵秩的求法
64.线性表示定理
67.反求齐次方程
2.函数求解技巧
5.高阶导数求解
8.区间不等式
11.方程根的个数
14.三角函数积分
17.变限积分求解
20.变限积分性质
23.定积分简化
26.反常积分敛散1
29.向量运算法则
32.二元函数极限
35.简化二重积分
38.交错级数收敛
41.幂级数审敛法
44.常数项级数
47.行列式运算
50.范德蒙行列式
53.矩阵方程求解
56.矩阵行列式
59.高次幂矩阵
62.线性相关|无关
65.方程组解|判定
68.方程组解关系
3.夹逼定理
6.中值等式命题
9.数值不等式
12凑微分求积分
18.变限积分极限
21.定积分方程根
24.定积分不等式1
27.反常积分敛散2
30.点线面距离
33.可微偏导连续
36.二次积分转换
39.常数项级数
42.幂级数和函数
45.常系数微分
48.对角线行列式
51.可逆阵求解
54.对称与反对称
57.零相关行列式
60.矩阵初等变换
63.向量组线性
66.基础解系求法
1.微观基本假设
4.序数|基数效用
7.角点解
10.交易与替代
13.收入|替代效应
16.消费者剩余
19.税收转嫁
22.一二价格歧视
25.嫉妒效率公平
28.公地的悲剧
43.长期供给优化
46.信息不对称
2.微观基本原理
5.效用函数分类
8.经济学模型
11.效用最大化
14.马歇尔|希克斯
17.斯勒茨基替代
20.消费跨期选择
23.垄断市场分析
26.外部性分析
39.斯勒茨基补充
44.卡特尔模型
3.齐次|位似函数
6.显示偏好原理
9.凹与拟凹函数
12.支出最小化
15.斯勒茨基方程
18.拍卖理论
21.利润与剩余
24.二元交换经济
27.外部性解决
42.拟凹性补充
45.公地悲剧补充
29.特长|中|短期
32.需求与供给
35.政策时滞
38.流派问题
48.货币需求理论
30.支出法
33.货币政策
36.政策选择
40.货币分析法
31.索洛模型
34.财政政策
37.开放经济
41.非常规货币
1.国民收入核算
4.货币需求供给
7.通胀与失业
10.流派问题
13.消费者行为
16.博弈论
19.凯恩斯理论
22.IS_LM模型
25.总供给总需求
28.宏观政策分析
31.一般均衡综合
2.收入支出模型
5.IS_LM模型
8.宏观政策分析
11.开放经济
14.生产理论
17.市场失灵
20.消费理论
23.政策分析I
26.失业与通胀
29.财政政策延伸
32.完全竞争例题
3.投资消费理论
6.总需求总供给
9.经济增长模型
12.供给|需求|弹性
15.完全竞争|垄断
18.乘数|加速模型
21.货币需求理论
24.IS_LM计算
27.宏观经济政策
30.经济增长延伸
33.公共品配置
1.货币基本概念
4.信用形式
7.央行职能|独立
10.衍生工具市场
13.金融体系|功能
16.货币市场
19.外汇黄金市场
22.金融体系|功能
2.货币职能
5.存款货币银行
8.金融资产功能
11.股票与创业板
14.金融资产特征
17.衍生工具市场
20.资本市场
23.金融体系结构
3.国际货币体系
6.央行类型
9.货币市场
12.初级|二级市场
15.金融市场
18.投资基金
21.债券|初级市场
《轻松上岸》系列之微观全题型精讲与方法总结-轻3
《轻松上岸》系列之宏观全题型精讲与方法总结-轻4
《轻松上岸》系列之考研数学题型精讲与方法总结-同上
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发表于 2022-8-19 17:43:39
