科 目：数学
知识点：几类反常积分敛散性的判别
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以这部分内容为摆渡数学习题班（冲刺班）讲义内容，相关习题将会汇编成冲刺 版习题集，习题答案并不是讲义全部内容，如果造成理解不便，敬请原谅。
1. 一般反常积分敛散性的判别
根据定义判别其敛散性以及当积分收鈝时计算其值可归类为三步：
(1)求出被积函数 的原函数 ;
(2)使用牛顿-莱不尼兹公式;
(3)求极限。
为了书写统一与简便起见，把上述三步合起来，象常义积分一样, 写成
不过, 对 与 的理解要随不同的反常积分而不同，当 在 或 处无界时, 与 应理解为
当 或 分别为 或 时, , 应理解为
当这些极限存在时，反常积分收敛；否则，发散
例【495】确定常数 的值，使得下列反常积分收敛,并求出其值
解法 1: 因为
故
当 时，分子、分母中 的最高次幂均为 1 ,其系数的比为 ,由式知其极限等于 2 , 因而原式
解法 2：原式
已知该反常积分收敛, 则分母中 的最高次数至少比分子中 的最高次数高1,因而只有当 时，分母中 的最高次数为 2 ,而分子中 的最高次数为 0, 它们的最高次数才相差 2 , 这时该反常积分才收敛.
当 1 或 时它们的最高次数仅相差 1 , 因而发散.
2. 上下限均为无穷大时的判别法
设 在 内连续, 任取 ,若反常积分 与 均收敛, 则称反常积分 收敛;
若两个反坣积分中有一个发散, 则称反常积分 发散, 或无意义.收敛时,
则定义
其中 可自由选取，当然选的原则是使计算简便，一般常选
例【496】若非负函数 , 则称 为概率密度函数，设常数
证明: 是一个概率密度函数,并计算由下式定义的数值 ;
证:讨论双边无穷限积分应先分别考察两个单边无穷限积分的敛散性.由定义易得到
因而反常积分 均收敛, 故反常积分 收敛,其值为
因而 是一个概率密度函数, 因为
以及
均收敛, 故 也收敛,其值为
3. 带有对数函数的无穷限反常积分敛散性
形如：
其敛散性是：当 时,两者均收敛,且分别收敛于
当 时,两者均发散,其中 . 上述结论可这样筒单记忆：积分区间无限 大于 1 收敛, 否则发散
例【497】 下列反常积分是否收鈝? 如果收敛并求它的值
解: , 故该反常积分收敛.且收敛于
(2)因 , 故该反常积分发散
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发表于 2022-8-30 18:15:47
