积分画不出图形？其实，画图从来不是积分的必需品。

灰灰考研 · 发表于 2020-9-8 00:00:00

小编是一个画图和空间想象力的白痴，曾在小学达成了两个小时画不出正方形，三年学不会花正方体的“壮举”，空间感的缺失让我对代数方法有更多的依赖性，也算是对个人数理逻辑形成的一个催化剂吧。考研来临，小编绝望的发现，数学有叫“三重积分”和”空间曲线积分“的东东，就算只是”二重积分“，我也经常因为无法准确画图而一筹莫展，无奈之际，我疯狂自救，最后也算是有所心得，于是决定分享出来，希望对大家有所启发。篇幅所限，这篇文章可能只能分享一小部分的内容。

累次积分的逻辑：

二重积分，三重积分，以及它们变形出来的极坐标、球坐标积分等，它们究竟是一种怎样的逻辑呢？

实际上，无论哪一种积分，我们遵循的基本逻辑都是：动静结合。何为动静结合，先以最简单的二重积分为例，当我们选择了先对y再对x结合，实际上我们是这么思考的，我们先去考虑x的取值范围是多少，通过这一点决定外层对x的积分范围，再去考虑，固定住x，对每个x，y的范围是多少，由此决定如何对y进行积分。

很简单是吧？别慌，这只是让大家感受一下什么叫动静结合，如果你真的精确地把握了其内涵，那么下面一个问题你也应该手到擒来。

是不是感觉略微有点模糊了？如果你明白何为θ，何为r，这个问题应该也不会太过困难。θ，表示点与原点连线与x轴正方向的夹角；r，表示点到原点的距离。这是一个我们十分熟悉的图形，因此我们一旦深刻理解了我上面所说的”动静结合”，先寻找r的范围，再卡住r，确定θ范围，便可以逐步分析，大家请看图：

这个问题得到了完美的解决，可是，我们却跑题了，因为我们，还是画图了。圆，我们或许可以画图解决，可是，若面对我们无法画图的复杂图形，甚至无法想象的空间图形，我们又能何去何从？不要着急，且听我细细道来。

一旦选择了代数法，我们便再也不需要去思考r是什么，Θ是什么，我们只需要针对积分区域本身去考虑，它的两个参数需要满足这个条件：

这应该是显而易见的，跟我们的r，θ代表的含义可以说毫无关系，可是它是一个先对θ取范围，r依赖于θ的表达式，这无法完成我们的工作。因此，我们首先需要考虑，作为外层的r，它最大的可伸展范围。没错，可能你已经看出来了，它最小为0，最大为θ取0而r＝2cos0=2的时候，即0<=r<=2。于是我们对上述不等式组进行了变形：

这便是所有满足条件的r，θ集合，于是，我们对r从0到2取一个遍历，对于每一个r，我们固定住它，观察θ的取值范围，从而完成积分。可是，敏锐的你可能已经发现了，第二个和第三个不等式表达的θ区域有高度的重合性，如果arccos（r/2）>pi/4,那么只需要满足2式，反之则只需要满足3式，而分割它们的界点就是r=2^(1/2)，如图所示：

因此，我们可以得到与几何法完全相同的结果。可是，这个过程，我们既没有画图，也没用刻意去理解r，θ的具体含义。

总结我们的方法，我们先去分析了r的可伸展范围，然后讨论了固定r的情况下θ的范围，这个过程可能涉及分类讨论。因此，面对换积分限的问题，我们可以用类似的方式改造不等式，不画图解决问题，面对三重积分中所谓的公共部分问题，围成类问题，无法画图的空间体类问题，我们也可以根据条件定住一维，写出不等式，进行求解，当然，关于更复杂的三重类问题的不画图解法，我也会在后面的推文中具体阐述、

通过这篇文章，我希望大家能对累次积分的真正意义有更深刻更本质的理解，这样我相信大家才能结合我后面的几篇文章感受到更多的东西，真正砍下积分这个拦路虎。

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