名校真题精选52道积分不等式1-13题解答

在之前的推文中，我大概整理历年名校关于积分不等式真题精选52道，但均没有解答，有些题太过于经典，也有的题较为基础，其中大有题基本是往年竞赛题，还有能在各大数分教材中重现，总而言之，不在你做了多少这类题，而是你有没很好地总结这类题型的突破点与做题技巧。我们在处理积分不等式常用的手段主要包括积分学(定积分性质与积分中值定理等)、微分学、二重积分、级数等，一些常用的不等式也在做题过程中显得很有必要。对于被积函数给定的条件来适当采取相应的解决办法，比如说被积函数为“连续、一阶可导、二阶可导或是具体函数”等，我们就可以考虑换元法、函数单调性、定积分性质、微分中值定理、定积分定义、对被积函数的原函数或被积函数泰勒展开等方法解决。总之关于积分不等式这类题目，变形所产生的"复产品"非常多，你要学会归类并反复思考才能有所突破.这里我将52道题分4期解答，每期13道，今天便是1-13题解答，其中大部分为2020年的考题真题

1. (2020.北京大学)  已知函数在上连续单调增加，且，记

证明：，并比较 与 的大小(可以用物理或几何直觉).

证明：  由递增，根据chebyshev不等式知

即有，于是知.

令

令可得

即有

于是

即证

这题如果要证