每日一题181|积分不等式与数列极限一题

例1. 证明：

证. 方法一.利用积分中值定理

方法二.显然有

变式. 设 , (1) 证明对任意 都有

(2) 上式中的不等能否改为严格小于符号, 证明你的结论.

证.         (1) 令 , 于是

而函数 在 上递减, 且 , 由积分第二中值定理可知: 存在 , 使 得

故

(2) 能. 令

则

存在 , 使得 , 因此当 时, 有

例2. 设数列 满足

试求： (1) ；(2)

解. (1)首先有

易知 严格单调递增且趋于 ，然后利用 Stolz 定理可得

因此

(2) 由 Stolz 定理得