二重积分的计算(一)

计算下列二重积分

1. , 其中由直线 和曲线 所围成.

2. ,其中区域

3. , 其中是由围成的三角形.

4. , 其中是由围成的三角形.

5. , 其中 由直线及围成.

6. 设在区间上连续且为奇函数,区域由曲线与所围成, 求,

7. , 其中区域由曲线与所围成 ,为实值连续函数.

8. , 其中.

解: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)将积分区域分成两部分, 其中由与, 所围成. , 则关于轴对称, 关于轴对称.

由于 是奇函数,所以

(7)用将区域分成和, 其中关于轴对称, 关于轴对称,, 于是

(8)由于积分区域为关于轴对称的图形, 为关于的奇函数.所以

计算下列二重积分

1. , 其中由直线以及 围成.
2. , 其中由直线, 以及围成.
3. , 其中由平面上曲线与围成的有界闭区域.

注: 由于被积函数的原函数不能用初等函数表示,所以应化为先后的二次积分.

解: (1)

(2)

(3)

计算下列二重积分

1. , 其中由直线以及 所围成.
2. , 其中由直线以及 围成.
3. , 其中是由围成的区域.
4. , 其中是由直线及抛物线围成的区域.
5. , 其中是由直线与抛物线所围成的区域.
6. , 其中由, 以及轴围成.

解: 1.  

令 ,则